Determine o gradiente nabla f e a Hessiana Hf da função dada, em volta do ponto ( x0, y0 ) dado.
f(x, y)=e^x+5 y e(x0, y0)=(0,0).

Passo 1

A função é f(x,y)=e^{x+5y} e o ponto dado é (x₀,y₀)=(0,0). Vamos usar derivadas parciais de primeira e segunda ordem (regra da cadeia) para calcular ∇f e Hf.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Como f(x,y)=e^{u} com u=x+5y, temos ∂u/∂x=1 e ∂u/∂y=5. Logo
fx=partial fpartial x=e^x+5y, fy=partial fpartial y=5e^x+5y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de segunda ordem para montar a Hessiana. Derivando novamente temos
fxx=partialpartial x(e^x+5y)=e^x+5y, fxy=partialpartial y(e^x+5y)=5e^x+5y,
fyy=partialpartial y(5e^x+5y)=25e^x+5y

Passo 4

Por fim, avaliamos ∇f e Hf no ponto (0,0), onde e^{0+5·0}=1:

Resposta

nabla f(0,0)=(1,5)
Hf(0,0)=1 & 55 & 25

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