(*) Sejam
e
curvas em
, contínuas em
, com
e, para
, com
. É verdadeira ou falsa a seguinte afirmação? (Justifique).
Passo 1
A questão pergunta se, dado que duas curvas
e
que se aproximam de
levam a
e
convergindo para o mesmo
, isso já garante que
. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e o que vamos usar é a definição de limite via caminhos e um contraexemplo clássico.
Passo 2
Para que
exista, é necessário que toda sequência ou todo caminho em
que se aproxima de
faça
tender a
. Mostraremos que duas curvas não são suficientes: apesar de duas delas darem
, uma terceira pode dar valor diferente.
Passo 3
Considere o contraexemplo
Tome as curvas
com
. Em
e
temos
$$
f(\delta_1(t))=0,\quad f(\delta_2(t))=0,
f(\delta_3(t))=\frac{t\cdot t}{t2+t2}=\frac12,$$
o que não tende a . Logo o limite geral não existe mesmo tendo duas curvas com limite igual.
o que não tende a
Passo 4
Isso mostra que conhecer apenas duas curvas não garante o limite total. Precisamos que todas as possíveis curvas (ou sequências) deem o mesmo valor, não apenas duas.
Resposta
Falsa. Um contraexemplo é a função
(com
), em que duas curvas dão o mesmo limite mas uma terceira dá valor diferente, logo o limite em
não existe.