(*) Sejam de e de curvas em R^2, contínuas em t0, com gamma(t0)=(x0, y0) e, para t neq t0, gamma(t0) neq(x0, y0), com gamma(t0) in Df. É verdadeira ou falsa a seguinte afirmação? (Justifique).
lim t t0 f(de

Passo 1

A questão pergunta se, dado que duas curvas de e de que se aproximam de (x0,y0) levam a f(de e f(de convergindo para o mesmo L, isso já garante que lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)=L. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e o que vamos usar é a definição de limite via caminhos e um contraexemplo clássico.

Passo 2

Para que lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)=L exista, é necessário que toda sequência ou todo caminho em Df que se aproxima de (x0,y0) faça f(x,y) tender a L. Mostraremos que duas curvas não são suficientes: apesar de duas delas darem L, uma terceira pode dar valor diferente.

Passo 3

Considere o contraexemplo
f(x,y)= dfracxyx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Tome as curvas
de
com tto0. Em de e de temos
$$
f(\delta_1(t))=0,\quad f(\delta_2(t))=0, f(deé
f(\delta_3(t))=\frac{t\cdot t}{t2+t2}=\frac12,$$
o que não tende a 0. Logo o limite geral não existe mesmo tendo duas curvas com limite igual.

Passo 4

Isso mostra que conhecer apenas duas curvas não garante o limite total. Precisamos que todas as possíveis curvas (ou sequências) deem o mesmo valor, não apenas duas.

Resposta

Falsa. Um contraexemplo é a função f(x,y)=xy/(x^2+y^2) (com f(0,0)=0), em que duas curvas dão o mesmo limite mas uma terceira dá valor diferente, logo o limite em (0,0) não existe.

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