Calcule as integrais abaixo:
integral duplaR y sen(x y) d A, R=(x, y) mid 1 <= x <= 2,0 <= y <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o enunciado pediu. A gente tem que calcular , onde a região integral duplaR y cdot sen(x y) , dA é definida por R e 1 <= x <= 2. Isso envolve cálculo de integrais duplas, então vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e escolher a ordem certa de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a integral dupla como uma integral iterada. A região R está bem definida com x indo de 1 a 2 e y indo de 0 a pi. Podemos escrever a integral assim:
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a integralx=1^2 integraly=0^pi y cdot sen(x y) , dy , dx e depois em relação a y.

Passo 3

Vamos focar na parte interna da integral: . Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções.
A fórmula da integração por partes é:
integral0^pi y cdot sen(x y) , dy
Aqui, vamos escolher:
  • integral u , dv = u cdot v - integral v , du (então, u = y)
  • (então, precisamos achar du = dy)
Para encontrar dv = sen(x y) , dy, integramos v:

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo integral0^pi y cdot sen(x y) , dy = u cdot v |0^pi - integral0^pi v cdot du , u e v:
du
Simplificando:
= [ y cdot (-1x cos(x y)) ]0^pi - integral0^pi (-1x cos(x y)) cdot dy

Passo 5

Vamos resolver a integral restante: integral0^pi cos(x y) , dy. A integral de cos(x y) em relação a y é:
Aplicando os limites de 0 a integral cos(x y) , dy = 1x sen(x y) :
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa em relação a x:
Vamos dividir essa integral em duas partes:
  1. integral1^2 ( -pix cos(x pi) + sen(x pi)x^2 ) dx
Essas integrais podem não ter soluções elementares simples, então geralmente usamos métodos numéricos ou tabelas de integrais para avaliá-las. Para fins deste exercício, vamos considerar que elas são avaliadas numericamente.

Resposta

A integral dupla resulta em uma soma das integrais avaliadas numericamente:
Essas integrais podem ser calculadas usando métodos numéricos para obter o valor final.

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