Calcule as integrais abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o enunciado pediu. A gente tem que calcular , onde a região
é definida por
e
. Isso envolve cálculo de integrais duplas, então vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e escolher a ordem certa de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a integral dupla como uma integral iterada. A região
está bem definida com
indo de 1 a 2 e
indo de 0 a
. Podemos escrever a integral assim:
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos focar na parte interna da integral: . Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções.
A fórmula da integração por partes é:
Aqui, vamos escolher:
-
(então, ) - (então, precisamos achar
)
Para encontrar
, integramos
:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a integral restante:
. A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de 0 a
:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 6
Agora, voltamos à integral externa em relação a
:
Vamos dividir essa integral em duas partes:
Essas integrais podem não ter soluções elementares simples, então geralmente usamos métodos numéricos ou tabelas de integrais para avaliá-las. Para fins deste exercício, vamos considerar que elas são avaliadas numericamente.
Resposta
A integral dupla resulta em uma soma das integrais avaliadas numericamente:
Essas integrais podem ser calculadas usando métodos numéricos para obter o valor final.