(a) Explique porque a função do item ( ) é uma solução da equação diferencial do item (ii):
(i)
(ii)
Sugestão: Explique porque essa série define uma função , ou seja, a série converge para cada real; em seguida, é derivável? Para quais ? Como se calcula ? Finalmente, ?
Passo 1
Nesse exercício, a gente precisa mostrar que a função definida pela série de potências
é bem definida para todo , é derivável em todo e satisfaz a equação diferencial . Para isso, vamos usar teoria de séries de potências (raio de convergência e diferenciação termo a termo).
Passo 2
Para provar que converge para todo , aplicamos o critério da razão a um termo geral . Observamos:
Como esse limite é <1 para todo x, o raio de convergência é infty e a série converge absolutamente em todo R.
Passo 3
Séries de potências com raio infty definem funções infinitamente diferenciáveis em R. Portanto, podemos diferenciar f termo a termo sem preocupar com questões de convergência extra.