(a) Explique porque a função f(x) do item ( i ) é uma solução da equação diferencial do item (ii):
(i) f(x)=sumn=0^infty x^nn!
(ii) y^prime(x)=y(x)
Sugestão: Explique porque essa série define uma função f(x), ou seja, a série converge para cada x real; em seguida, f é derivável? Para quais x? Como se calcula f^prime(x)? Finalmente, f^prime(x)=f(x)?

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa mostrar que a função definida pela série de potências
f(x)=sumn=0^inftyx^nn!
é bem definida para todo x, é derivável em todo R e satisfaz a equação diferencial y'=y. Para isso, vamos usar teoria de séries de potências (raio de convergência e diferenciação termo a termo).

Passo 2

Para provar que f(x) converge para todo x, aplicamos o critério da razão a um termo geral an=tfracx^nn!. Observamos:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x|^n+1/(n+1)!|x|^n/n! =limntoinfty|x|n+1 =0
Como esse limite é <1 para todo x, o raio de convergência é infty e a série converge absolutamente em todo R.

Passo 3

Séries de potências com raio infty definem funções infinitamente diferenciáveis em R. Portanto, podemos diferenciar f termo a termo sem preocupar com questões de convergência extra.

Passo 4

Derivando termo a termo, para x fixo:
f'(x)=ddxsumn=0^inftyx^nn! =sumn=0^inftyddxgl(x^nn!gr) =sumn=1^inftyn,x^n-1n! =sumn=1^inftyx^n-1(n-1)!
Fazendo m=n-1, isso vira
f'(x)=summ=0^inftyx^mm!=f(x)

Passo 5

Como mostramos que f'(x)=f(x) para todo x e f é bem definida e diferenciável em R, concluímos que f(x) é solução da equação diferencial y'=y.

Resposta

A derivada da série é igual à própria série, ou seja, f'(x)=f(x), logo f(x)=sumn=0^inftyx^n/n! é solução de y'=y.

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