Em cada um dos Problemas de 19 a 26:
(a) Determine uma forma adequada para Y(t) para se usar o método dos coeficientes indeterminados.
(b) Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.
y^prime prime+4 y=t^2 sen 2 t+(6 t+7) cos 2 t

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO linear com coeficientes constantes
y'' + 4y = t^2sin(2t) + (6t+7)cos(2t),
usando o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achar a forma adequada de um particular Yp(t) e depois usar um sistema algébrico (ou método complexo) para determinar seus coeficientes.

Passo 2

A equação homogênea associada é
yh'' + 4yh = 0,
cuja solução geral é
yh(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)
Como o forçamento envolve sin(2t) e cos(2t), há ressonância simples (raízes pm2i simples).

Passo 3

Pelo método dos coeficientes indeterminados devemos multiplicar a forma padrão por t. O termo de forçamento em sin(2t) é polinômio de grau 2 e o termo em cos(2t) é de grau 1. Logo propomos
Yp(t)=tl(A t^2 + B t + Cr)sin(2t) +tl(D t + Er)cos(2t)

Passo 4

Para determinar A,B,C,D,E rapidamente, usa-se o método do termo complexo. Escrevemos
f(t)=t^2sin(2t)+(6t+7)cos(2t)=Rel[(6t+7 - i,t^2)e^2itr]
e buscamos
yc(t)=P(t)e^2it,
onde P(t)=a t^3 + b t^2 + c t + d. Substituindo em y''+4y obtemos a equação para P:
P'' + 4iP' = (6t+7) - i,t^2

Passo 5

Resolvendo coeficiente a coeficiente achamos
a=-tfrac112, b=-tfrac13i16, c=tfrac1332-tfrac7i4, d=0
Retirando a parte real de P(t)e^2it chega-se a

Passo 6

A solução particular real fica então
Yp(t)=l(tfrac1316t^2+tfrac74tr)sin(2t) +l(-tfrac112t^3+tfrac1332tr)cos(2t)

Passo 7

Esse Yp(t) satisfaz y''+4y=t^2sin2t+(6t+7)cos2t e é a solução particular procurada.

Resposta

Y_p(t)=\bigl(\tfrac{13}{16}t2+\tfrac{7}{4}t\bigr)\sin(2t)+\bigl(-\tfrac{1}{12}t3+\tfrac{13}{32}t\bigr)\cos(2t)

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