Calcule as integrais abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral bem interessante:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que envolvem funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples usando frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia é escrever essa expressão como a soma de duas frações:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados pela expressão denominadora
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equação:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Agora, substituímos o valor de
na primeira equação:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que:
Passo 8
Aplicando essa fórmula aos nossos termos:
Podemos simplificar a segunda fração racionalizando o denominador:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: