Calcule as integrais abaixo:
integral-infty^+infty x^2(x^2+1)(x^2+5) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral bem interessante:
integral-infty^+infty x^2(x^2+1)(x^2+5) , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que envolvem funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x^2(x^2+1)(x^2+5) em frações parciais. A ideia é escrever essa expressão como a soma de duas frações:
x^2(x^2+1)(x^2+5) = Ax^2+1 + Bx^2+5
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados pela expressão denominadora (x^2+1)(x^2+5) para eliminar os denominadores, temos:
x^2 = A(x^2+5) + B(x^2+1)
Agora, vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
x^2 = (A + B)x^2 + (5A + B)

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equação:
A + B = 1 5A + B = 0
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de A e B.

Passo 5

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
5A + B - (A + B) = 0 - 1 4A = -1 A = -14
Agora, substituímos o valor de A na primeira equação:
-14 + B = 1 B = 1 + 14 B = 54

Passo 6

Agora que temos A = -14 e B = 54, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
x^2(x^2+1)(x^2+5) = -14 cdot 1x^2+1 + 54 cdot 1x^2+5

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral-infty^+infty x^2(x^2+1)(x^2+5) , dx = -14 integral-infty^+infty 1x^2+1 , dx + 54 integral-infty^+infty 1x^2+5 , dx
Sabemos que:
integral-infty^+infty 1x^2+a^2 , dx = pia

Passo 8

Aplicando essa fórmula aos nossos termos:
-14 cdot pi1 + 54 cdot piraiz5 = -pi4 + 5pi4raiz5
Podemos simplificar a segunda fração racionalizando o denominador:
5pi4raiz5 = 5pi cdot raiz54 cdot 5 = pi raiz54

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
integral-infty^+infty x^2(x^2+1)(x^2+5) , dx = -pi4 + pi raiz54 = pi (raiz5 - 1)4

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