Calcule as integrais abaixo:
integral0^+infty x^2(x^2+1)^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^+infty x^2(x^2+1)^2,dx. Esse problema envolve integração de funções racionais e vamos usar substituição trigonométrica para simplificar.

Passo 2

Aplicamos a substituição x=tantheta, de modo que dx=sec^2theta,dtheta e x^2+1=sec^2theta. A integral se transforma em:
integral0^+infty x^2(x^2+1)^2,dx =integral0^pi/2 tan^2thetasec^4theta,sec^2theta,dtheta =integral0^pi/2 tan^2thetasec^2theta,dtheta =integral0^pi/2 sin^2theta,dtheta

Passo 3

Para calcular integral0^pi/2 sin^2theta,dtheta, usamos a identidade de redução sin^2theta=tfrac1-cos(2theta)2. Assim:
integral0^pi/2 sin^2theta,dtheta =tfrac12integral0^pi/2(1-cos2theta),dtheta =tfrac12l[theta-tfracsin2theta2r]0^pi/2 =tfrac12cdottfracpi2 =tfracpi4

Resposta

pi4

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