Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 1(2 n-1)!

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série alternada sumn=1^infty(-1)^n+11(2n-1)!. O conteúdo envolvido é séries numéricas, em particular o teste da série alternada de Leibniz e o teste da razão para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos o termo geral positivo an=1(2n-1)!. Para aplicar o teste de Leibniz, precisamos checar que an é decrescente e que limntoinftyan=0. Como o fatorial cresce rápido, temos
(2(n+1)-1)!=(2n+1)!>(2n-1)!Longrightarrow an+1=1(2n+1)!<1(2n-1)!=an
E claramente
limntoinftyan=limntoinfty1(2n-1)!=0

Passo 3

Pelos critérios do teste de Leibniz, como an>0, an é decrescente e lim an=0, a série sum(-1)^n+1an converge (no sentido condicional).

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, analisamos a série de termos positivos sumn=1^infty an=sumn=1^infty1(2n-1)!. Aplicamos o teste da razão:
L=limntoinftyan+1an=limntoinfty1/(2n+1)!1/(2n-1)!=limntoinfty1(2n)(2n+1)=0<1,
logo a série de valores absolutos converge.

Passo 5

Como a série converge absolutamente, concluímos que ela converge de forma absoluta, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente (portanto é convergente).

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