Determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série alternada
. O conteúdo envolvido é séries numéricas, em particular o teste da série alternada de Leibniz e o teste da razão para verificar convergência absoluta.
Passo 2
Definimos o termo geral positivo
. Para aplicar o teste de Leibniz, precisamos checar que
é decrescente e que
. Como o fatorial cresce rápido, temos
E claramente
Passo 3
Pelos critérios do teste de Leibniz, como
,
é decrescente e
, a série
converge (no sentido condicional).
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, analisamos a série de termos positivos
. Aplicamos o teste da razão:
logo a série de valores absolutos converge.
Passo 5
Como a série converge absolutamente, concluímos que ela converge de forma absoluta, e portanto converge.
Resposta
A série converge absolutamente (portanto é convergente).