Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 3^nn!

Passo 1

A gente tem a série sumn=1^infty(-1)^n+13^nn!. O conteúdo aqui é séries infinitas, especialmente convergência absoluta e teste da razão. Para resolver, vamos analisar o módulo dos termos e aplicar o teste da razão.

Passo 2

Primeiro identificamos o termo geral
an = (-1)^n+13^nn!. Como queremos checar convergência absoluta, olhamos para
.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão em |an|. Calculamos:
L = limntoinfty |an+1||an| = limntoinfty 3^n+1/(n+1)!3^n/n! = limntoinfty 3n+1 = 0
Como L=0<1, a série de módulo converge (teste da razão).

Passo 4

Se a série de módulos converge, concluímos que a série original converge absolutamente. Converge absolutamente significa que também converge normalmente.

Resposta

A série é absolutamente convergente, logo converge.

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