Estamos com a integral dupla no retângulo . O conteúdo aqui é integrais duplas e vamos usar integrais iteradas, primeiro em e depois em .
Passo 2
Para a integral interna em , calculamos
[\int_0^1(1 + x + y e^y),dx = \int_0^1 1,dx + \int_0^1 x,dx + \int_0^1 y e^y,dx.]
Como é constante nessa etapa, temos , ,
Somando, o resultado é .
Passo 3
Agora integramos em :
[\int_2^3\Bigl(\tfrac32 + y e^y\Bigr),dy = \int_2^3 \tfrac32,dy + \int_2^3 y e^y,dy.]
O primeiro termo dá .
Para integral y e^y,dy usamos integração por partes: seja u=y, dv=e^y dy, então du=dy, v=e^y. Logo
[\int y e^y,dy = y e^y - \int e^y,dy = y e^y - e^y = e^y(y - 1).]
Avaliando de 2 a 3, obtemos e^3(3-1) - e^2(2-1) = 2e^3 - e^2. Somando tfrac32, o valor final fica 2e^3 - e^2 + tfrac32.