Calcule as integrais abaixo:
integralegral duplaD(1+x+y e^y) d A, D=(x, y) ; 0 <= x <= 1, 2 <= y <= 3;

Passo 1

Estamos com a integral dupla integral duplaD (1 + x + y e^y),dA no retângulo D=(x,y):0<= x<=1,,2<= y<=3. O conteúdo aqui é integrais duplas e vamos usar integrais iteradas, primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Para a integral interna em x, calculamos
[\int_0^1(1 + x + y e^y),dx = \int_0^1 1,dx + \int_0^1 x,dx + \int_0^1 y e^y,dx.]
Como y é constante nessa etapa, temos
integral0^1 1,dx = 1,
integral0^1 x,dx = tfrac12,
integral0^1 y e^y,dx = y e^y times (1-0) = y e^y
Somando, o resultado é 1 + tfrac12 + y e^y = tfrac32 + y e^y.

Passo 3

Agora integramos em y:
[\int_2^3\Bigl(\tfrac32 + y e^y\Bigr),dy = \int_2^3 \tfrac32,dy + \int_2^3 y e^y,dy.]
O primeiro termo dá tfrac32(y)|2^3 = tfrac32.
Para integral y e^y,dy usamos integração por partes: seja u=y, dv=e^y dy, então du=dy, v=e^y. Logo
[\int y e^y,dy = y e^y - \int e^y,dy = y e^y - e^y = e^y(y - 1).]
Avaliando de 2 a 3, obtemos e^3(3-1) - e^2(2-1) = 2e^3 - e^2. Somando tfrac32, o valor final fica 2e^3 - e^2 + tfrac32.

Resposta

2e^3 - e^2 + tfrac32

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