Calcule as integrais abaixo.
integral sen^4 x cos ^2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular O conteúdo que vamos usar é a integração de potências pares de senos e cossenos, aplicando as fórmulas de redução de potência para transformar tudo em senos e cossenos de ângulos duplos ou múltiplos.

Passo 2

Primeiro, escrevemos sin^4xcos^2x como (sin^2x)^2,(cos^2x) e aplicamos as identidades de redução de potência:
sin^2x=1-cos(2x)2,cos^2x=1+cos(2x)2
Isso dá
sin^4xcos^2x=l(1-cos(2x)2r)^2cdot1+cos(2x)2 = 1-cos(2x)-cos^2(2x)+cos^3(2x)8

Passo 3

Agora reduzimos cos^2(2x) e cos^3(2x) usando
cos^2(2x)=1+cos(4x)2, cos^3(2x)=3cos(2x)+cos(6x)4

Passo 4

Substituindo e simplificando obtemos
sin^4xcos^2x = 2 - cos(2x) - 2cos(4x) + cos(6x)32 = 116 - cos(2x)32 - cos(4x)16 + cos(6x)32

Passo 5

Integramos termo a termo:
integralsin^4xcos^2x,dx = integrall(116 - cos(2x)32 - cos(4x)16 + cos(6x)32r)dx
Isso leva a
x16 - sin(2x)64 - sin(4x)64 + sin(6x)192 + C

Resposta

x16 - sin(2x)64 - sin(4x)64 + sin(6x)192 + C

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