Determine o domínio de cada função e dê o valor (caso exista) que a função deveria assumir no ponto dado parar ser contínua.
f(x)=x^3-27x-3 em p=3

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função f(x)=x^3-27x-3 e, em seguida, o valor que deveríamos atribuir em x=3 para que f seja contínua nesse ponto. O conteúdo envolve domínio de funções racionais e continuidade via limite.

Passo 2

Para achar o domínio de uma função racional, basta garantir que o denominador não zere. Aqui o denominador é x-3, que se anula em x=3. Portanto, o domínio de f é todos os reais, exceto 3, ou seja,
D = xinR:xneq3

Passo 3

Como o numerador também zera em x=3, temos uma descontinuidade removível. Para ver qual valor atribuir em 3 para estender f de forma contínua, fatoramos o numerador:
x^3 - 27 = (x-3)(x^2 + 3x + 9)

Passo 4

Assim, para xneq3,
f(x)=(x-3)(x^2+3x+9)x-3=x^2+3x+9

Passo 5

O limite quando xto3 vale
limxto3f(x)=3^2+3cdot3+9=27

Passo 6

Logo, para remover a descontinuidade e tornar f contínua em x=3, basta definir f(3)=27.

Resposta

Domínio: xinR:xneq3. Para que f seja contínua em x=3, deve-se definir f(3)=27.

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