Calcule as integrais abaixo:
integral sen(2 x) sen(6 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do produto sin(2x)sin(6x). O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade produto-soma para senos.

Passo 2

A identidade produto-soma para senos diz:
Isso simplifica para
sin A sin B = cos(A - B) - cos(A + B)2,where escolhemos $A = 2x$ e $B = 6x$ Substituindo na integral temos: [integral sin(2x)sin(6x),dx = integral cos((2x)-(6x)) - cos((2x)+(6x))2,dx

Passo 3

Como cos(-4x)=cos(4x), separamos:
12 integral cos(4x),dx - 12 integral cos(8x),dx
Agora integramos termo a termo:
  • integral cos(4x),dx = 14sin(4x) + C1.
  • integral cos(8x),dx = 18sin(8x) + C2.

Passo 4

Juntando e absorvendo constantes em uma só, obtemos:
12 cdot 14sin(4x) - 12 cdot 18sin(8x) + C
que simplifica para
18sin(4x) - 116sin(8x) + C

Resposta

integral sin(2x)sin(6x),dx = 18sin(4x) - 116sin(8x) + C.

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