integral duplaR f(x, y) d A >= integral duplaR g(x, y) d A, se f(x, y) >= g(x, y)

Passo 1

Enunciado: mostrar que se f(x,y)>= g(x,y) em R, então integral duplaR f(x,y),dA >= integral duplaR g(x,y),dA. O conteúdo é propriedade de monotonicidade de integrais duplas, e vamos usar linearidade e positividade das integrais.

Passo 2

Definimos a função h(x,y) = f(x,y) - g(x,y). Como f(x,y) >= g(x,y) em R, segue que h(x,y) >= 0 em todo ponto de R.

Passo 3

Usamos o fato de que a integral dupla é uma forma linear, ou seja,
integral duplaR h,dA = integral duplaR (f-g),dA = integral duplaR f,dA - integral duplaR g,dA
Além disso, por h>=0, temos integral duplaR h,dA >=0.

Passo 4

Da desigualdade integral duplaR h,dA >=0 e da expressão linear, concluímos
integral duplaR f,dA - integral duplaR g,dA >=0,
ou seja,
integral duplaR f,dA >= integral duplaR g,dA

Resposta

integral duplaR f(x,y),dA >= integral duplaR g(x,y),dA.

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