Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular:
Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Observa que no numerador temos
e no denominador temos termos com
. Isso sugere que podemos fazer a seguinte substituição:
Então, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Agora, substituímos na integral original:
Passo 3
Agora, nossa integral ficou:
Para resolver
, precisamos usar uma técnica mais avançada chamada frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador
.
Sabemos que:
Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os coeficientes
,
,
e
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Expandindo e igualando os coeficientes dos termos, resolvemos o sistema de equações para encontrar
,
,
e
.
Após resolver, encontramos:
Passo 5
Substituindo os valores encontrados na expressão das frações parciais, temos:
Agora, podemos integrar cada fração separadamente.
Passo 6
Vamos integrar cada termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
, lembrando que
:
Podemos simplificar isso para:
Resposta
A integral dada é igual a:
Onde
é a constante de integração.