Calcule as integrais abaixo.
integral sen x1+cos ^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular:
integral sin x1 + cos^4 x , dx
Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Observa que no numerador temos u = cos x e no denominador temos termos com du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx . Isso sugere que podemos fazer a seguinte substituição:
integral sin x1 + cos^4 x , dx = integral -du1 + u^4
Então, derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituímos na integral original:

Passo 3

Agora, nossa integral ficou:
- integral du1 + u^4
Para resolver 1 + u^4 = (u^2 + raiz2u + 1)(u^2 - raiz2u + 1) , precisamos usar uma técnica mais avançada chamada frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador 11 + u^4 = A u + Bu^2 + raiz2u + 1 + C u + Du^2 - raiz2u + 1 .
Sabemos que:
Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os coeficientes 1 = (A u + B)(u^2 - raiz2u + 1) + (C u + D)(u^2 + raiz2u + 1) , A = 12raiz2, B = 12, C = -12raiz2, D = 12 , e . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Expandindo e igualando os coeficientes dos termos, resolvemos o sistema de equações para encontrar , , e .
Após resolver, encontramos:

Passo 5

Substituindo os valores encontrados na expressão das frações parciais, temos:
11 + u^4 = 12raiz2u + 12u^2 + raiz2u + 1 + -12raiz2u + 12u^2 - raiz2u + 1
Agora, podemos integrar cada fração separadamente.

Passo 6

Vamos integrar cada termo:
- integral du1 + u^4 = - [ 12raiz2 ln|u^2 + raiz2u + 1| - 12raiz2 ln|u^2 - raiz2u + 1| ] + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original - [ 12raiz2 ln|cos^2 x + raiz2cos x + 1| - 12raiz2 ln|cos^2 x - raiz2cos x + 1| ] + C , lembrando que 12raiz2 ln(cos^2 x - raiz2cos x + 1cos^2 x + raiz2cos x + 1) + C :
Podemos simplificar isso para:

Resposta

A integral dada é igual a:
12raiz2 ln(cos^2 x - raiz2cos x + 1cos^2 x + raiz2cos x + 1) + C
Onde é a constante de integração.

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