Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral definida de
de
até
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integração por partes e substituição. Vamos precisar manipular logaritmos e funções exponenciais para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Vamos usar uma substituição. Seja
. Assim, precisamos encontrar
:
Isso nos ajuda a reescrever a integral em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos expressar
em termos de
:
Substituindo na integral original:
Lembrando que
, substituímos para obter:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar o método de integração por partes. Vamos definir:
-
então -
então
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 5
Agora, resolvemos
novamente por integração por partes:
-
então -
então
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltando à integral original:
Agora, aplicamos os limites de
a
:
Passo 7
Calculando nos limites:
Para :
Para
Como
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral definida é: