Calcule as integrais abaixo.
integral1^2 ln ^2 xx^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral definida de de até . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integração por partes e substituição. Vamos precisar manipular logaritmos e funções exponenciais para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Vamos usar uma substituição. Seja du = 1x dx . Assim, precisamos encontrar :
Isso nos ajuda a reescrever a integral em termos de .

Passo 3

Agora, vamos expressar dx = x , du em termos de integral1^2 ln^2 xx^3 dx = integral0^ln 2 u^2x^3 cdot x , du :
integral0^ln 2 u^2 e^-2u du
Substituindo na integral original:
Lembrando que , substituímos para obter:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral integral u^2 e^-2u du = -12 u^2 e^-2u + integral u e^-2u du . Para isso, vamos usar o método de integração por partes. Vamos definir:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 5

Agora, resolvemos integral u e^-2u du = -12 u e^-2u + 12 integral e^-2u du novamente por integração por partes:
  • = -12 u e^-2u - 14 e^-2u + C então
  • então
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à integral original:
integral u^2 e^-2u du = -12 u^2 e^-2u - 12 u e^-2u - 14 e^-2u + C
Agora, aplicamos os limites de [ -12 u^2 e^-2u - 12 u e^-2u - 14 e^-2u ]0^ln 2 a :

Passo 7

Calculando nos limites:
Para -12 (ln 2)^2 e^-2ln 2 - 12 (ln 2) e^-2ln 2 - 14 e^-2ln 2 :
-18 (ln 2)^2 - 18 ln 2 - 116
Como -14 :
( -18 (ln 2)^2 - 18 ln 2 - 116 ) - ( -14 )
Para = -18 (ln 2)^2 - 18 ln 2 + 316 :
Subtraindo:

Resposta

A integral definida é:
integral1^2 ln^2 xx^3 dx = 316 - ln 28 - (ln 2)^28

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