Calcule as integrais abaixo:
integral tg^5 x sec ^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral tan^5x,sec^3x,dx. Isso envolve integração de funções trigonométricas e vamos utilizar identidades trigonométricas e substituição para facilitar.

Passo 2

Usamos a identidade tan^2x=sec^2x-1. Assim podemos reescrever tan^5x como tan x,(tan^2x)^2=tan x,(sec^2x-1)^2.
Substituímos no integrando:
tan^5x,sec^3x=tan x,sec^3x,(sec^2x-1)^2

Passo 3

Agora usamos a substituição u=sec x, logo du=sec xtan x,dx. Observando que
sec^3x,tan x,dx=sec^2x,(sec xtan x,dx)=u^2,du, o integrando em u fica
integral u^2,(u^2-1)^2,du

Passo 4

Expandindo (u^2-1)^2=u^4-2u^2+1 e multiplicando por u^2 obtemos
integral(u^6-2u^4+u^2),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral u^6du=tfracu^77, integral -2u^4du=-tfrac2u^55, integral u^2du=tfracu^33

Passo 6

Voltando a x com u=sec x, a antiderivada é
sec^7x7-2sec^5x5+sec^3x3+C

Resposta

sec^7x7-2sec^5x5+sec^3x3+C

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