Calcule as integrais abaixo:
integral0^pi4 tg^6 x sec ^6 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^pi4 tan^6x,sec^6x,dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas usando substituição, e vamos precisar do fato de que ddx(tan x)=sec^2x e da identidade sec^2x=1+tan^2x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando extraindo um sec^2x para usar na substituição e usando sec^4x=(1+tan^2x)^2:
tan^6x,sec^6x=tan^6x,sec^4x,sec^2x=tan^6x,(1+tan^2x)^2,sec^2x

Passo 3

Fazemos a substituição u=tan x, logo du=sec^2x,dx. Quando x=0, u=0; quando x=pi4, u=1. A integral vira:
integral0^1u^6(1+u^2)^2,du

Passo 4

Expandimos o integrando e integramos termo a termo:
u^6(1+u^2)^2=u^6(1+2u^2+u^4)=u^6+2u^8+u^10,
então
integral0^1(u^6+2u^8+u^10),du=[u^77+2u^99+u^1111]0^1

Passo 5

Avaliando em 0 e em 1 temos
17+29+111=99+154+63693=316693

Resposta

316693

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