Calcule as integrais abaixo.
integral triplaB 2 z d x d y d z, onde B é o conjunto x^2+y^2+z^2 <= 4, z >= 0. (Resp: 8 pi )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaB2z,dx,dy,dz sobre o conjunto B:,x^2+y^2+z^2<=4,;z>=0. O conteúdo é integração em regiões de R^3, e para resolver vamos usar coordenadas esféricas e o conceito de Jacobiano em integrais triplas.

Passo 2

Como B é o hemisfério de raio 2 (área superior da esfera x^2+y^2+z^2=4), introduzimos coordenadas esféricas:
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com os intervalos
0<=rho<=2, 0<=phi<=tfracpi2, 0<=theta<=2pi,
e o elemento de volume
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

O integrando 2z em esféricas vira 2rhocosphi, então o produto com o Jacobiano fica
2rhocosphitimesrho^2sinphi=2rho^3sinphicosphi

Passo 4

Montamos então a integral iterada:
I=integral0^2pi!!integral0^pi/2!!integral0^22rho^3sinphicosphi,drho,dphi,dtheta

Passo 5

Como o integrando se separa, escrevemos
I=l(integral0^2pidthetar)l(integral0^pi/2sinphicosphi,dphir)l(integral0^22rho^3,drhor)

Passo 6

Calculamos cada parte:
integral0^2pidtheta=2pi,
integral0^pi/2sinphicosphi,dphi=12,
integral0^22rho^3,drho=2cdotrho^44|0^2=2cdot164=8

Passo 7

Multiplicando tudo:
I=2pitimes12times8=8pi

Resposta

8pi

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