Calcule as integrais abaixo.
, onde
é o conjunto
. (Resp:
)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
sobre o conjunto
. O conteúdo é integração em regiões de
, e para resolver vamos usar coordenadas esféricas e o conceito de Jacobiano em integrais triplas.
Passo 2
Como
é o hemisfério de raio 2 (área superior da esfera
), introduzimos coordenadas esféricas:
com os intervalos
e o elemento de volume
Passo 3
O integrando
em esféricas vira
, então o produto com o Jacobiano fica
Passo 4
Montamos então a integral iterada:
Passo 5
Como o integrando se separa, escrevemos
Passo 6
Calculamos cada parte:
Passo 7
Multiplicando tudo: