Suponha que
e
sejam funções integráveis em um conjunto limitado
.
Mostre que a função
é integrável em
e
.
Mostre que a função
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se f e g são integráveis em um conjunto limitado B⊂ℝ³, então f+g também é integrável em B e que a integral tripla é linear, isto é,
Passo 2
Vamos usar a definição de somas superior e inferior (Riemann) em ℝ³. Seja P={B_i} uma partição de B em sub-regiões B_i. Definimos para cada i:
Passo 3
Em cada B_i, como (f+g)(x,y,z)=f(x,y,z)+g(x,y,z), vale
$$M_i(f+g)=M_i(f)+M_i(g),\quad m_i(f+g)=m_i(f)+m_i(g).
$$Logo
Passo 4
Para provar integrabilidade de f+g, dado ε>0 usamos que f e g são integráveis. Então existem partições P_f e P_g tais que
$$U(f,P_f)-L(f,P_f)<\tfracε2,\quad U(g,P_g)-L(g,P_g)<\tfracε2.
$$Tomamos P refinamento comum de P_f e P_g. Então
$$U(f+g,P)-L(f+g,P)=(U(f,P)+U(g,P))-(L(f,P)+L(g,P))<ε.
$$Isto mostra que f+g é integrável.
Passo 5
Para a igualdade das integrais, lembramos que, por definição,
$$\sup_PL(f+g,P)=\sup_PL(f,P)+\sup_PL(g,P)=\iiint_Bf,dV+\iiint_Bg,dV.
$$Logo
Resposta
A função f+g é integrável em B e vale