Suponha que f e g sejam funções integráveis em um conjunto limitado B subset R^3.
Mostre que a função f+g é integrável em B e integral triplaB(f+g)(x, y, z) d V=integral triplaB f(x, y, z) d V+ integral triplaB g(x, y, z) d V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f e g são integráveis em um conjunto limitado B⊂ℝ³, então f+g também é integrável em B e que a integral tripla é linear, isto é,
integral triplaB(f+g),dV=integral triplaBf,dV+integral triplaBg,dV

Passo 2

Vamos usar a definição de somas superior e inferior (Riemann) em ℝ³. Seja P={B_i} uma partição de B em sub-regiões B_i. Definimos para cada i:
Mi(f)=sup(x,y,z)in Bif(x,y,z), mi(f)=inf(x,y,z)in Bif(x,y,z),e analogamente M_i(g), m_i(g). As somas superior e inferior são
U(f,P)=sumiMi(f),vol(Bi), L(f,P)=sumimi(f),vol(Bi),e idem para g e para f+g.

Passo 3

Em cada B_i, como (f+g)(x,y,z)=f(x,y,z)+g(x,y,z), vale
$$M_i(f+g)=M_i(f)+M_i(g),\quad m_i(f+g)=m_i(f)+m_i(g).
$$Logo
Mi(f+g)=Mi(f)+Mi(g), mi(f+g)=mi(f)+mi(g)

Passo 4

Para provar integrabilidade de f+g, dado ε>0 usamos que f e g são integráveis. Então existem partições P_f e P_g tais que
$$U(f,P_f)-L(f,P_f)<\tfracε2,\quad U(g,P_g)-L(g,P_g)<\tfracε2.
$$Tomamos P refinamento comum de P_f e P_g. Então
$$U(f+g,P)-L(f+g,P)=(U(f,P)+U(g,P))-(L(f,P)+L(g,P))<ε.
$$Isto mostra que f+g é integrável.

Passo 5

Para a igualdade das integrais, lembramos que, por definição,
integral triplaB f,dV=supPL(f,P)=infPU(f,P),e o mesmo para g e para f+g. Como L(f+g,P)=L(f,P)+L(g,P), passando ao supremo em P, obtemos
$$\sup_PL(f+g,P)=\sup_PL(f,P)+\sup_PL(g,P)=\iiint_Bf,dV+\iiint_Bg,dV.
$$Logo
supPL(f+g,P)=supPL(f,P)+supPL(g,P)=integral triplaBf,dV+integral triplaBg,dV

Resposta

A função f+g é integrável em B e vale
integral triplaB(f+g)(x,y,z),dV=integral triplaBf(x,y,z),dV+integral triplaBg(x,y,z),dV

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