Transforme o problema
num outro em que as condições de fronteira sejam homogêneas, supondo que
e
sejam diferenciáveis.
Passo 1
O enunciado pede para transformar o problema da equação do calor com condições de contorno de Neumann não homogêneas em outro problema equivalente que tenha contorno de Neumann homogêneo. O conteúdo aqui é mudança de variável do tipo
, escolhendo
de modo a anular as partes não homogêneas das derivadas em
.
Passo 2
Proponho a decomposição
. A ideia é escolher
tal que suas derivadas em
reproduzam exatamente
e
, de modo que
.
Passo 3
Para satisfazer
e
, tomo
como polinômio quadrático em
:
Então
Impondo as fronteiras:
resulta em
Passo 4
Agora derivamos a equação para
. Como
, temos
Logo
satisfaz a PDE com termo fonte
onde
Passo 5
As condições de contorno para
ficam homogêneas, pois
Passo 6
A condição inicial para
é
Passo 7
Resumindo, obtemos um novo problema para
com Neumann homogêneo e fonte conhecida. de contorno.
Resposta
O problema transformado é
onde