Transforme o problema
& ut=K ux x, em mathscrR, & ux(0, t)=g0(t), ux(L, t)=g1(t), para t>0, & u(x, 0)=f(x), para 0
num outro em que as condições de fronteira sejam homogêneas, supondo que g0 e g1 sejam diferenciáveis.

Passo 1

O enunciado pede para transformar o problema da equação do calor com condições de contorno de Neumann não homogêneas em outro problema equivalente que tenha contorno de Neumann homogêneo. O conteúdo aqui é mudança de variável do tipo u=v+w, escolhendo w(x,t) de modo a anular as partes não homogêneas das derivadas em x.

Passo 2

Proponho a decomposição u(x,t)=v(x,t)+w(x,t). A ideia é escolher w tal que suas derivadas em x reproduzam exatamente g0(t) e g1(t), de modo que vx(0,t)=vx(L,t)=0.

Passo 3

Para satisfazer wx(0,t)=g0(t) e wx(L,t)=g1(t), tomo w como polinômio quadrático em x:
w(x,t)=A(t),x^2+B(t),x
Então
wx(x,t)=2A(t)x+B(t)
Impondo as fronteiras:
wx(0,t)=B(t)=g0(t),
wx(L,t)=2A(t)L+B(t)=g1(t)
resulta em
A(t)=g1(t)-g0(t)2L,
B(t)=g0(t)

Passo 4

Agora derivamos a equação para v. Como ut=K uxx, temos
vt = ut - wt = K(uxx)-wt = K(vxx+wxx)-wt = K vxx +2K A(t) -[A'(t)x^2+B'(t)x]
Logo v satisfaz a PDE com termo fonte
vt = K vxx +F(x,t),
onde
F(x,t)=2K A(t) -A'(t),x^2 -B'(t),x

Passo 5

As condições de contorno para v ficam homogêneas, pois
vx(0,t)=ux(0,t)-wx(0,t)=g0(t)-g0(t)=0,
vx(L,t)=ux(L,t)-wx(L,t)=g1(t)-g1(t)=0

Passo 6

A condição inicial para v é
v(x,0)=u(x,0)-w(x,0)=f(x)-l[A(0)x^2+B(0)xr]

Passo 7

Resumindo, obtemos um novo problema para v(x,t) com Neumann homogêneo e fonte conhecida. de contorno.

Resposta

O problema transformado é
vt = K vxx +F(x,t), &00, vx(0,t)=0, vx(L,t)=0, &t>0, v(x,0)=f(x)-l[A(0)x^2+B(0)xr], &0
onde
A(t)=g1(t)-g0(t)2L,
B(t)=g0(t),
F(x,t)=2K A(t)-A'(t)x^2-B'(t)x

Exercícios relacionados