Transforme o problema
num outro em que as condições de fronteira sejam homogêneas.
Passo 1
O problema dado é a equação do calor em uma barra de comprimento L com coeficiente térmico K, sujeita a condição de Dirichlet não-homogênea em x=0, condição de Robin (mista) não-homogênea em x=L e condição inicial u(x,0)=f(x). Nosso objetivo é transformar isso num problema equivalente com condições de fronteira homogêneas, usando uma função auxiliar ψ(x,t).
Passo 2
Proponha a mudança de variável
u(x,t)=v(x,t)+ψ(x,t)
onde ψ(x,t) será escolhida para satisfazer exatamente as condições de fronteira originais, de modo que v herde condições homogêneas.
u(x,t)=v(x,t)+ψ(x,t)
onde ψ(x,t) será escolhida para satisfazer exatamente as condições de fronteira originais, de modo que v herde condições homogêneas.
Passo 3
Escolhemos ψ(x,t) linear em x, isto é,
Impondo ψ(0,t)=h_0(t) dá A(t)=h_0(t). Impor
ψ_x(L,t)+αψ(L,t)=B(t)+α\bigl(A(t)+B(t)L\bigr)=h_1(t)
leva a
ψ_x(L,t)+αψ(L,t)=B(t)+α\bigl(A(t)+B(t)L\bigr)=h_1(t)
leva a
Passo 4
Portanto
Logo as condições de fronteira para v são homogêneas:
v(0,t)=u(0,t)-ψ(0,t)=0
e
v_x(L,t)+αv(L,t)=0.
v(0,t)=u(0,t)-ψ(0,t)=0
e
v_x(L,t)+αv(L,t)=0.
Passo 5
Derivando a equação para v temos
v_t=u_t-ψ_t=K u_{xx}-ψ_t=K(v_{xx}+ψ_{xx})-ψ_t=K v_{xx}-ψ_t
já que ψ_{xx}=0. A condição inicial fica
v(x,0)=u(x,0)-ψ(x,0)=f(x)-ψ(x,0).
v_t=u_t-ψ_t=K u_{xx}-ψ_t=K(v_{xx}+ψ_{xx})-ψ_t=K v_{xx}-ψ_t
já que ψ_{xx}=0. A condição inicial fica
v(x,0)=u(x,0)-ψ(x,0)=f(x)-ψ(x,0).
Resposta
O problema transformado para v(x,t) fica:
com