Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo de integrais que têm uma expressão com uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos expressões do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a raiz quadrada. Observamos que
se parece com a identidade trigonométrica
. Então, fazemos a substituição:
Passo 3
Depois, calculamos a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Passo 6
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 7
Vamos usar a identidade trigonométrica para
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Passo 9
Agora, voltamos para a variável original
. Lembrando que
, então:
Também, usando a identidade
, e sabendo que
, temos:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão integrada:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a: