Calcule as integrais abaixo:
integral x^2raiz9-25 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^2raiz9-25 x^2 dx. Esse exercício envolve cálculo de integrais que têm uma expressão com uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos expressões do tipo raiza^2 - b^2x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a raiz quadrada. Observamos que 9 - 25x^2 se parece com a identidade trigonométrica 1 - sin^2theta = cos^2theta. Então, fazemos a substituição:
x = 35 sin theta

Passo 3

Depois, calculamos a derivada de x em relação a theta para encontrar dx:
dx = 35 cos theta , dtheta

Passo 4

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral (35 sin theta)^2raiz9 - 25 (35 sin theta)^2 cdot 35 cos theta , dtheta

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz9 - 25 cdot 925 sin^2 theta = raiz9 - 9 sin^2 theta = raiz9(1 - sin^2 theta) = 3 cos theta

Passo 6

Substituindo de volta na integral, temos:
integral (925 sin^2 theta)3 cos theta cdot 35 cos theta , dtheta = integral 925 sin^2 theta cdot 35 , dtheta = 27125 integral sin^2 theta , dtheta

Passo 7

Vamos usar a identidade trigonométrica para sin^2 theta:
sin^2 theta = 1 - cos 2theta2
Então, a integral fica:
27125 integral 1 - cos 2theta2 , dtheta = 27250 integral (1 - cos 2theta) , dtheta

Passo 8

Integrando termo a termo:
27250 ( theta - sin 2theta2 ) + C

Passo 9

Agora, voltamos para a variável original x. Lembrando que x = 35 sin theta, então:
sin theta = 5x3 Rightarrow theta = arcsin(5x3)
Também, usando a identidade sin 2theta = 2 sin theta cos theta, e sabendo que cos theta = raiz1 - sin^2theta = raiz1 - (5x3)^2 = raiz9 - 25x^23, temos:
sin 2theta = 2 cdot 5x3 cdot raiz9 - 25x^23 = 10x raiz9 - 25x^29

Passo 10

Substituindo de volta na expressão integrada:
27250 ( arcsin(5x3) - 12 cdot 10x raiz9 - 25x^29 ) + C = 27250 arcsin(5x3) - 27250 cdot 10x raiz9 - 25x^29 + C
Simplificando:
27250 arcsin(5x3) - 325 x raiz9 - 25x^2 + C

Resposta

A integral integral x^2raiz9-25 x^2 dx é igual a:
27250 arcsin(5x3) - 325 x raiz9 - 25x^2 + C

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