Use o resultado da parte (a) para mostrar que
|integral0^2^pi f(x) sin 2 x d x| <= integral0^2^pi|f(x)| d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o valor absoluto da integral de $ f(x) \sin 2x $ de 0 a $ 2^{\pi} $ é menor ou igual à integral de $ |f(x)| $ no mesmo intervalo. Isso envolve análise de integrais e propriedades de funções. Para resolver, vamos usar propriedades de desigualdades envolvendo integrais e funções absolutas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para quaisquer funções $ f(x) $ e $ g(x) $, temos que:
f(x)
Essa é uma aplicação da desigualdade triangular para integrais, garantindo que o valor absoluto da integral do produto é no máximo a integral do produto dos valores absolutos.

Passo 3

No nosso caso, $ g(x) = \sin 2x $. Sabemos que para todo $ x $:
g(x) = sin 2x
Isso porque a função seno está sempre entre -1 e 1.

Passo 4

Aplicando a desigualdade que mencionamos no passo 2, temos:
| integral0^2^pi f(x) sin 2x dx | <= integral0^2^pi |f(x)| |sin 2x| dx

Passo 5

Como $ |\sin 2x| \leq 1 $, podemos substituir na integral:
|sin 2x| <= 1

Resposta

Portanto,
|integral0^2^pi f(x) sin 2x dx| <= integral0^2^pi|f(x)| dx

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