Use o resultado da parte (a) para mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o valor absoluto da integral de $ f(x) \sin 2x $ de 0 a $ 2^{\pi} $ é menor ou igual à integral de $ |f(x)| $ no mesmo intervalo. Isso envolve análise de integrais e propriedades de funções. Para resolver, vamos usar propriedades de desigualdades envolvendo integrais e funções absolutas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para quaisquer funções $ f(x) $ e $ g(x) $, temos que:
Essa é uma aplicação da desigualdade triangular para integrais, garantindo que o valor absoluto da integral do produto é no máximo a integral do produto dos valores absolutos.
Passo 3
No nosso caso, $ g(x) = \sin 2x $. Sabemos que para todo $ x $:
Isso porque a função seno está sempre entre -1 e 1.
Passo 4
Aplicando a desigualdade que mencionamos no passo 2, temos:
Passo 5
Como $ |\sin 2x| \leq 1 $, podemos substituir na integral:
Resposta
Portanto,