Calcule as integrais abaixo:
integral0^12 x raiz1-4 x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^12 x raiz1-4 x^2 , dx. Nesta questão, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente utilizando a técnica de substituição para simplificar a integral e encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz usando uma substituição. Seja:
u = 1 - 4x^2
Precisamos calcular a derivada de u em relação a x para substituir dx:
dudx = -8x Rightarrow du = -8x , dx
Isso nos permite expressar x , dx em termos de du:
x , dx = -du8

Passo 3

Agora, substituímos u e x , dx na integral original:
integral0^12 x raiz1-4 x^2 , dx = integralu(0)^u(12) raizu (-du8)

Passo 4

Vamos determinar os novos limites de integração após a substituição:
  • Quando x = 0:
    u = 1 - 4(0)^2 = 1
  • Quando x = 12:
    u = 1 - 4(12)^2 = 1 - 1 = 0

Passo 5

Com os limites atualizados, a integral fica:
-18 integral1^0 raizu , du
Podemos inverter os limites de integração e trocar o sinal:
18 integral0^1 u^12 , du

Passo 6

Agora, calculamos a integral de u^12:
18 [ 23 u^32 ]0^1 = 18 cdot 23 (1^32 - 0^32) = 112 (1 - 0) = 112

Resposta

O valor da integral é 112.

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