Calcule as integrais abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Aqui, temos:
Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais dividindo-as em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
para ver se conseguimos decomppor a fração. Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão
e somados dão
.
Esses números são
e
, porque
e
.
Então, a fatoração fica:
Portanto, o denominador fatorado é
.
Passo 3
Agora, assumimos que a fração
pode ser escrita como a soma de duas frações parciais:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 5
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações. Da segunda equação, temos
. Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 8
Finalmente, integramos cada termo separadamente:
Utilizando a substituição
e
, temos: