Calcule as integrais abaixo
integral 7 x+16 x^2+x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Aqui, temos:
integral 7x + 16x^2 + x - 1 , dx
Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais dividindo-as em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 6x^2 + 3x - 2x - 1 = 3x(2x + 1) -1(2x + 1) = (3x -1)(2x +1) para ver se conseguimos decomppor a fração. Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão .
Esses números são e , porque e .
Então, a fatoração fica:
Portanto, o denominador fatorado é .

Passo 3

Agora, assumimos que a fração 7x + 1(3x -1)(2x +1) = A3x -1 + B2x +1 pode ser escrita como a soma de duas frações parciais:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 7x + 1 = A(2x +1) + B(3x -1) para eliminar as frações:

Passo 5

Agora, expandimos e agrupamos os termos:
7x + 1 = (2A + 3B)x + (A - B)
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes:
2A + 3B = 7 A - B = 1

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações. Da segunda equação, temos 2(B + 1) + 3B = 7 2B + 2 + 3B = 7 5B + 2 = 7 5B = 5 B = 1 . Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 7

Agora que temos 7x + 1(3x -1)(2x +1) = 23x -1 + 12x +1 e , podemos reescrever a fração original:

Passo 8

Finalmente, integramos cada termo separadamente:
integral 7x + 16x^2 + x -1 , dx = integral 23x -1 , dx + integral 12x +1 , dx
Utilizando a substituição 23ln|3x -1| + 12ln|2x +1| + C e , temos:

Resposta

integral 7x + 16x^2 + x -1 , dx = 23 ln|3x -1| + 12 ln|2x +1| + C

Exercícios relacionados