Mostre que todas as determinações de
são reais e dadas por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que todas as formas de calcular
são números reais e que elas são dadas por
Aqui, vamos precisar usar conceitos de números complexos e exponenciais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como elevar um número complexo a uma potência. Se tivermos um número complexo na forma polar, ou seja,
, então
.
Passo 3
O número imaginário unitário
pode ser representado na forma exponencial como:
Isso porque, no plano complexo,
está a
radianos do eixo real positivo.
Passo 4
Agora, para encontrar
, usamos a propriedade das potências de números complexos:
De acordo com a regra
, temos:
Aqui, usamos o fato de que
.
Passo 5
No entanto, números complexos têm múltiplas representações angulares, diferidas por múltiplos de
. Assim, podemos escrever
como:
Aplicando essa representação na potência
:
Simplificando, percebemos que:
Assim, a expressão geral para todas as determinações de
é:
Resposta
Todas as determinações de
são reais e dadas por