Mostre que todas as determinações de i^i são reais e dadas por
i^i = exp((4k + 1) * pi / 2), k = 0, +- 1, +- 2, ...

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que todas as formas de calcular são números reais e que elas são dadas por
Aqui, vamos precisar usar conceitos de números complexos e exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como elevar um número complexo a uma potência. Se tivermos um número complexo na forma polar, ou seja, , então .

Passo 3

O número imaginário unitário pode ser representado na forma exponencial como:
Isso porque, no plano complexo, está a radianos do eixo real positivo.

Passo 4

Agora, para encontrar , usamos a propriedade das potências de números complexos:
De acordo com a regra , temos:
Aqui, usamos o fato de que .

Passo 5

No entanto, números complexos têm múltiplas representações angulares, diferidas por múltiplos de . Assim, podemos escrever como:
Aplicando essa representação na potência :
Simplificando, percebemos que:
Assim, a expressão geral para todas as determinações de é:

Resposta

Todas as determinações de são reais e dadas por

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