Use o método de variação dos parâmetros para resolver as EDOS
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial de terceira ordem:
A gente vai usar o método da variação dos parâmetros para resolver essa equação. Basicamente, vamos precisar encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea associada (quando igualamos a equação a zero) e uma solução particular que leva em conta o termo não homogêneo, que nesse caso é o
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente monta a equação característica substituindo
por
:
Fatorando:
Isso nos dá as raízes:
Passo 3
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiverem.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando a variação dos parâmetros. Como o termo não homogêneo é
, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções que a gente precisa determinar.
Passo 5
Para encontrar essas funções
e
, a gente monta um sistema de equações baseado nas derivadas de
. Calculando as derivadas:
1ª derivada:
2ª derivada:
3ª derivada:
Substituindo na equação original
:
Isso resulta em um sistema de equações que podemos resolver para encontrar
e
.
Passo 6
Após resolver o sistema, encontramos as funções
e
. Finalmente, substituímos essas funções na expressão de
para obter a solução particular.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.