Use o método de variação dos parâmetros para resolver as EDOS
y''' - y' = x

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial de terceira ordem:
A gente vai usar o método da variação dos parâmetros para resolver essa equação. Basicamente, vamos precisar encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea associada (quando igualamos a equação a zero) e uma solução particular que leva em conta o termo não homogêneo, que nesse caso é o .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente monta a equação característica substituindo por :
Fatorando:
Isso nos dá as raízes:

Passo 3

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Aqui, e são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiverem.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando a variação dos parâmetros. Como o termo não homogêneo é , vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde e são funções que a gente precisa determinar.

Passo 5

Para encontrar essas funções e , a gente monta um sistema de equações baseado nas derivadas de . Calculando as derivadas:
1ª derivada:
2ª derivada:
3ª derivada:
Substituindo na equação original :
Isso resulta em um sistema de equações que podemos resolver para encontrar e .

Passo 6

Após resolver o sistema, encontramos as funções e . Finalmente, substituímos essas funções na expressão de para obter a solução particular.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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