Calcule as integrais abaixo:
(a) integral d xraizx^2-1 (b) integral (2 x+4) d x(x-1)(x^2+1)^2 (c) integral (3 x^2-5 x+8) d xx^2-4
usando os seguintes métodos:
(a) decompondo as frações nos itens b e c numa soma de frações;
(b) usando a substituição x=ch theta ou x=sh theta (usar o fato de que ch^2 theta-sh^2 theta=1 ) no item a;

Passo 1

Enunciado: calcular as integrais a) integraldxraizx^2-1, b) integral2x+4(x-1)(x^2+1)^2dx e c) integral3x^2-5x+8x^2-4dx. O conteúdo envolvido é integração: no item a) usamos substituição hiperbólica (sabendo que ) e nos itens b) e c) usamos decomposição em frações parciais.

Passo 2

Para a): fazemos a substituição hiperbólica
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Como , concluímos
x=chtheta, dx=shtheta,dtheta, raizx^2-1=shtheta

Passo 3

Para b): escrevemos
2x+4(x-1)(x^2+1)^2=Ax-1+Bx+Cx^2+1+Dx+E(x^2+1)^2
Multiplicando e igualando coeficientes obtemos o sistema que leva a
A=tfrac32,,B=-tfrac32,,C=-tfrac32,,D=-3,,E=-1. Assim a integral vira soma de termos simples e verificamos
integral2x+4(x-1)(x^2+1)^2dx=tfrac32ln|x-1|-tfrac34ln(x^2+1)-2arctan x+3-x2(x^2+1)+C

Passo 4

Para c): fazemos divisão polinomial
3x^2-5x+8x^2-4=3+-5x+20x^2-4
e então decompomos
-5x+20x^2-4=5/2x-2-15/2x+2
Integrando termo a termo resulta
integral3x^2-5x+8x^2-4dx=3x+52ln|x-2|-152ln|x+2|+C

Resposta

(a) lnl(x+raizx^2-1r)+C
(b) tfrac32ln|x-1|-tfrac34ln(x^2+1)-2arctan x+dfrac3-x2(x^2+1)+C
© 3x+tfrac52ln|x-2|-tfrac152ln|x+2|+C

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