Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral x tan (2 x)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral integral x,tan^2(2x),dx. O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, usando a identidade tan^2theta=sec^2theta-1 e integração por partes.

Passo 2

Começamos reescrevendo tan^2(2x) com a identidade trigonométrica. Assim,
integral xtan^2(2x),dx=integral xl(sec^2(2x)-1r),dx=integral xsec^2(2x),dx-integral x,dx

Passo 3

Para calcular integral xsec^2(2x),dx, fazemos a substituição u=2x, du=2,dx (logo dx=du/2 e x=u/2). A integral vira
integral xsec^2(2x),dx=integral u2sec^2(u)cdotdu2=14integral usec^2(u),du

Passo 4

Agora aplicamos integração por partes em integral usec^2(u),du. Escolhendo p=u (portanto dp=du) e dq=sec^2(u),du (logo q=tan(u)), obtemos
integral usec^2(u),du = utan(u) - integraltan(u),du = utan(u) + lnl|cos(u)r| + C

Passo 5

Voltando a x,
integral xsec^2(2x),dx = 14l(utan(u)+ln|cos(u)|r)+C = x2tan(2x)+14lnl|cos(2x)r|+C

Passo 6

A segunda integral é direta:
integral x,dx=x^22+C

Passo 7

Juntando tudo e absorvendo constantes em C, chegamos ao resultado final.

Resposta

x2tan(2x)+14lnl|cos(2x)r|-x^22+C

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