Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral arcsin (raizx)raiz1-x d x

Passo 1

Temos a integral integralarcsin(raizx)raiz1-x,dx. O conteúdo envolve técnicas de integração por substituição trigonométrica e por partes; vamos usar a substituição t=arcsin(raizx).

Passo 2

Com t=arcsin(raizx) segue que raizx=sin t. Assim:
x=sin^2 t, dx=2sin tcos t,dt,raiz1-x=cos t
Substituindo na integral:
integraltcos t,2sin tcos t,dt=integral2tsin t,dt

Passo 3

Para calcular integral2tsin t,dt aplicamos integração por partes com u=2t, dv=sin t,dt, o que gera du=2,dt e v=-cos t. Logo:
integral2tsin t,dt=-2tcos t+2integralcos t,dt=-2tcos t+2sin t+C

Passo 4

Voltando à variável original, temos t=arcsin(raizx), cos t=raiz1-x e sin t=raizx. Portanto a primitiva é
-2arcsin(raizx)raiz1-x+2raizx+C

Resposta

2raizx-2raiz1-x,arcsin(raizx)+C

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