Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
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Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência $ a_{n} = e^{1/n} $ converge ou diverge. Se ela convergir, também queremos saber qual é o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites de sequências e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se, conforme $ n $ fica cada vez maior (tendendo ao infinito), os termos da sequência se aproximam de um número específico, chamado de limite. Se isso não acontece, dizemos que a sequência diverge.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da sequência $ a_{n} = e^{1/n} $ quando $ n $ tende ao infinito. Escrevemos isso assim:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos primeiro calcular o que acontece dentro do expoente, ou seja, $ \frac{1}{n} $:
Então, substituímos esse resultado na expressão original:
E sabemos que qualquer número elevado a zero é 1:
Resposta
A sequência $ a_{n} = e^{1/n} $ converge, e o seu limite é 1.