Calcule: em que é a fronteira do triângulo de vértices e , orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha ao longo da fronteira de um triângulo. Isso envolve entender integrais de campo vetorial, que fazem parte do cálculo vetorial. Para isso, vamos usar o teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Vamos precisar identificar os limites do triângulo e aplicar as fórmulas corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o triângulo cujo contorno é a curva . Os vértices são , e , e a curva está orientada no sentido anti-horário. Isso significa que vamos percorrer os lados do triângulo nessa direção para calcular a integral.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que diz:
Aqui, e . O Teorema de Green nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo, facilitando o cálculo.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla sobre a região . Vamos descrever usando as coordenadas e . Observando os vértices, vemos que varia de 0 a 1. Para cada , varia de 0 até uma linha que conecta a . A equação dessa linha é: