Calcule:
(1,0) integralgamma(x-y) d x+e^x+y d y em que gamma é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (1,2), orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha ao longo da fronteira de um triângulo. Isso envolve entender integrais de campo vetorial, que fazem parte do cálculo vetorial. Para isso, vamos usar o teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Vamos precisar identificar os limites do triângulo e aplicar as fórmulas corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o triângulo cujo contorno é a curva gamma. Os vértices são (0,0), (0,1) e (1,2), e a curva está orientada no sentido anti-horário. Isso significa que vamos percorrer os lados do triângulo nessa direção para calcular a integral.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que diz:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Aqui, P = x - y e Q = e^x + y. O Teorema de Green nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a área D do triângulo, facilitando o cálculo.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x e^x + y = e^x + y
partial Ppartial y = partialpartial y (x - y) = -1
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = e^x + y - (-1) = e^x + y + 1

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla sobre a região D. Vamos descrever D usando as coordenadas x e y. Observando os vértices, vemos que x varia de 0 a 1. Para cada x, y varia de 0 até uma linha que conecta (0,1) a (1,2). A equação dessa linha é:
y = x + 1
Então, os limites de integração são:
0 <= x <= 1
0 <= y <= x + 1

Passo 6

Agora, escrevemos a integral dupla:
integral duplaD (e^x + y + 1) , dx , dy = integral0^1 integral0^x + 1 (e^x + y + 1) , dy , dx
Vamos resolver primeiro a integral interna em y:
integral0^x + 1 e^x + y , dy + integral0^x + 1 1 , dy
Integrando:
e^x cdot (e^y) g|0^x + 1 + y g|0^x + 1 = e^x (e^x + 1 - 1) + (x + 1)
Simplificando:
e^2x + 1 - e^x + x + 1

Passo 7

Agora, integramos em x de 0 a 1:
integral0^1 (e^2x + 1 - e^x + x + 1) , dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. integral e^2x + 1 , dx = 12 e^2x + 1
  2. integral -e^x , dx = -e^x
  3. integral x , dx = 12 x^2
  4. integral 1 , dx = x
Avaliando de 0 a 1:
[ 12 e^3 - e^1 + 12 (1)^2 + 1 ] - [ 12 e^1 - e^0 + 12 (0)^2 + 0 ]
Simplificando:
12 e^3 - e + 12 + 1 - ( 12 e - 1 ) = 12 e^3 - e + 12 + 1 - 12 e + 1
= 12 e^3 - 32 e + 52

Resposta

O valor da integral é 12 e^3 - 32 e + 52.

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