Calcule as integrais abaixo:
integral0^+infty x^2(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de 0 até +infty de x^2(x^2+1)^2 dx. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição trigonométrica e propriedades de integrais. Precisaremos entender como fazer mudanças de variável e simplificar expressões usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos deixar x = tan theta. Com essa substituição, temos:
dx = sec^2 theta , dtheta
Além disso, x^2 + 1 = tan^2 theta + 1 = sec^2 theta.

Passo 3

Substituindo x e dx na integral original, ficamos com:
integral0^+infty x^2(x^2+1)^2 dx = integral0^pi2 tan^2 thetasec^4 theta cdot sec^2 theta , dtheta
Simplificando a expressão:
tan^2 thetasec^4 theta cdot sec^2 theta = tan^2 theta cdot cos^2 theta = sin^2 theta

Passo 4

Agora, a integral ficou mais simples:
integral0^pi2 sin^2 theta , dtheta
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2

Passo 5

Substituindo a identidade na integral:
integral0^pi2 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 12 integral0^pi2 (1 - cos(2theta)) , dtheta
Agora, vamos integrar termo a termo:
12 [ theta - sin(2theta)2 ]0^pi2

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Para theta = pi2:
pi2 - sin(pi)2 = pi2 - 0 = pi2
Para theta = 0:
0 - sin(0)2 = 0 - 0 = 0
Subtraindo:
pi2 - 0 = pi2
Multiplicando por 12:
12 cdot pi2 = pi4

Resposta

A integral integral0^+infty x^2(x^2+1)^2 dx é igual a pi4.

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