Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Vamos calcular a integral definida de
até
de
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição trigonométrica e propriedades de integrais. Precisaremos entender como fazer mudanças de variável e simplificar expressões usando identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos deixar
. Com essa substituição, temos:
Além disso,
.
Passo 3
Substituindo
e
na integral original, ficamos com:
Simplificando a expressão:
Passo 4
Agora, a integral ficou mais simples:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Passo 5
Substituindo a identidade na integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Multiplicando por
:
Resposta
A integral
é igual a
.