- Seja
uma sequência complexa convergente. Considere a função
. Mostre que:
(a)
;
(b) Se
for contínua em
, então
onde o limite
é calculado no anel
.
(a)
(b) Se
Passo 1
Vamos usar a ideia de somas parciais e telescopagem para obter uma expressão fechada de F(z) e depois avaliar em z=1.
Passo 2
Como ponto de partida, definimos as somas parciais de
. Para cada
, considere
Multiplicando por
e usando o truque
obtemos
Passo 3
Agora note que essa soma telescopa: escrevendo termo a termo,
Ao somar, quase tudo cancela, sobrando
mas, como não há termo
na definição original de
, fica
a expressão simplificada após reagrupar adequadamente:
a expressão simplificada após reagrupar adequadamente:
onde adotamos formalmente
como o termo inicial para encaixar o telescópio.
Passo 4
Como estamos no anel
, temos
quando
. Logo, podemos passar ao limite e escrever
Essa é a expressão analítica de
em
.
Passo 5
Para mostrar (a), basta agora avaliar em
. Como a sequência
converge,
e a série acima convergirá por teste de comparação. Em z=1 temos
Isto prova (a).
Passo 6
Para (b), se supomos que
é contínua em
, então por definição de continuidade
Combine isso com o resultado de (a):
. Por outro lado, a própria construção de
como soma de termos
e o fato de
convergir implicam que ao aproximar
de 1, a soma tende a
. Consequentemente,
como queríamos mostrar em (b).
Resposta
Fazendo as somas parciais e usando telescopagem, mostra‐se que
enquanto
. Se
é contínua em 1 então
e, pela própria forma da série e pela convergência de
, conclui‐se