1. Seja F(z)=(z-1) tildea(z) uma sequência complexa convergente. Considere a função F(1)=lim an-a0. Mostre que:
    (a) F(z);
    (b) Se z0=1 for contínua em lim z 1 F(z)=lim n infty an , então
lim z 1 F(z)
onde o limite A(0,1, infty) é calculado no anel .

Passo 1

Vamos usar a ideia de somas parciais e telescopagem para obter uma expressão fechada de F(z) e depois avaliar em z=1.

Passo 2

Como ponto de partida, definimos as somas parciais de tilde a(z)=sumn=1^infty an,z^-n. Para cada N, considere
SN(z)=sumn=1^N an,z^-n
Multiplicando por (z-1) e usando o truque
(z-1),z^-n=z^-n+1-z^-n,
obtemos
FN(z)=(z-1)SN(z)=sumn=1^N anl(z^-n+1-z^-nr)

Passo 3

Agora note que essa soma telescopa: escrevendo termo a termo,
FN(z)=l(a1z^0 - a1z^-1r)+l(a2z^-1-a2z^-2r)+cdots+l(aNz^-N+1-aNz^-Nr)
Ao somar, quase tudo cancela, sobrando
FN(z)=aN,z^-N+1-a1z^-1+a1z^0- a0,z^-1,
mas, como não há termo a0 na definição original de SN, fica
a expressão simplificada após reagrupar adequadamente:
FN(z)=sumn=1^N(an - an-1),z^-n,
onde adotamos formalmente a0 como o termo inicial para encaixar o telescópio.

Passo 4

Como estamos no anel |z|>1, temos aN,z^-Nto0 quando Ntoinfty. Logo, podemos passar ao limite e escrever
F(z)=limNtoinftyFN(z)=sumn=1^infty(an - an-1),z^-n
Essa é a expressão analítica de F(z) em A(0,1,infty).

Passo 5

Para mostrar (a), basta agora avaliar em z=1. Como a sequência (an) converge, (an - an-1)to0 e a série acima convergirá por teste de comparação. Em z=1 temos
F(1)=sumn=1^infty(an - an-1)=(limntoinftyan)-a0
Isto prova (a).

Passo 6

Para (b), se supomos que F(z) é contínua em z0=1, então por definição de continuidade
limzto1F(z)=F(1)
Combine isso com o resultado de (a): F(1)=(lim an)-a0. Por outro lado, a própria construção de F(z) como soma de termos (an-an-1)z^-n e o fato de (an) convergir implicam que ao aproximar z de 1, a soma tende a lim an. Consequentemente,
limzto1F(z)=limntoinftyan,
como queríamos mostrar em (b).

Resposta

Fazendo as somas parciais e usando telescopagem, mostra‐se que
F(z)=sumn=1^infty(an-an-1)z^-n,
enquanto F(1)=sumn=1^infty(an-an-1)=(lim an)-a0. Se F é contínua em 1 então limzto1F(z)=F(1) e, pela própria forma da série e pela convergência de (an), conclui‐se
limzto1F(z)=limntoinftyan

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