Estude cuidadosamente os extremos do intervalo de convergência( teste da convergência absoluta e condicional);
Passo 1
A série dada é . Trata-se de uma série de potências em e vamos estudar seu raio de convergência e o comportamento nos extremos . Precisaremos do teste da razão para achar o raio, do teste da p-série para e do teste de Leibniz (alternante) para .
Passo 2
Aplicando o teste da razão a :
Converge absolutamente se L<1, isto é, |x|<5. Diverge para |x|>5. O raio de convergência é R=5.
Passo 3
Para x=5 a série vira
sumk=1^infty5^k5^k k^1/2=sumk=1^infty1k^1/2
Isso é uma p-série com p=1/2<=1, logo diverge. Não há convergência nem condicional nem absoluta.
Aqui os termos 1/k^1/2 são positivos, decrescentes e tendem a zero, então pelo teste de Leibniz há convergência condicional. A convergência não é absoluta pois sum1/k^1/2 diverge.
Resposta
O intervalo de convergência absoluto é -5,5. Em x=5 a série diverge. Em x=-5 converge condicionalmente (mas não absolutamente).