Considere a série a seguir:
sumk=1^infty x^k5^k k^12
Estude cuidadosamente os extremos do intervalo de convergência( teste da convergência absoluta e condicional);

Passo 1

A série dada é sumk=1^infty x^k5^k k^1/2. Trata-se de uma série de potências em x e vamos estudar seu raio de convergência e o comportamento nos extremos x=pm5. Precisaremos do teste da razão para achar o raio, do teste da p-série para x=5 e do teste de Leibniz (alternante) para x=-5.

Passo 2

Aplicando o teste da razão a ak(x)=x^k/(5^k k^1/2):
L=limktoinfty|ak+1(x)ak(x)| =limktoinfty|x|5(kk+1)^1/2 =|x|5
Converge absolutamente se L<1, isto é, |x|<5. Diverge para |x|>5. O raio de convergência é R=5.

Passo 3

Para x=5 a série vira
sumk=1^infty5^k5^k k^1/2=sumk=1^infty1k^1/2
Isso é uma p-série com p=1/2<=1, logo diverge. Não há convergência nem condicional nem absoluta.

Passo 4

Para x=-5 a série fica
sumk=1^infty(-5)^k5^k k^1/2=sumk=1^infty(-1)^k1k^1/2
Aqui os termos 1/k^1/2 são positivos, decrescentes e tendem a zero, então pelo teste de Leibniz há convergência condicional. A convergência não é absoluta pois sum1/k^1/2 diverge.

Resposta

O intervalo de convergência absoluto é -5,5. Em x=5 a série diverge. Em x=-5 converge condicionalmente (mas não absolutamente).

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