Verifique que a afirmação
esta correta:
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão! A gente precisa verificar se a afirmação $ u_{xy} = u_{xy} $ está correta para a função $ u = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Isso envolve cálculos de derivadas parciais, especificamente as segundas derivadas misturadas de $ u $ em relação a $ x $ e $ y $. Então, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que são derivadas misturadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função $ u $. Sabemos que $ \ln \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ pode ser reescrita usando propriedades dos logaritmos:
Isso facilita na hora de calcular as derivadas.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $, que é $ u_x $. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de $ u_x $ em relação a $ y $, que é $ u_{xy} $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ u $ em relação a $ y $, que é $ u_y $:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de $ u_y $ em relação a $ x $, que é $ u_{yx} $:
Resposta
Conseguimos ver que $ u_{xy} = u_{yx} = \frac{-2xy}{(x^{2} + y{2}){2}} $. Portanto, a afirmação está correta!