Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1(ln (n))^n

Passo 1

Enunciado e conteúdo: Determinar se a série sumn=1^infty1(ln n)^n é convergente ou divergente. Vamos usar testes de convergência de séries infinitas, em particular comparação com série geométrica.

Passo 2

Observação sobre definição do termo geral: para n=1 temos ln1=0, então o termo não está definido. Podemos começar a análise em n=2, pois retirar um número finito de termos não altera a convergência.

Passo 3

Comparação com série geométrica: note que para n>=8 vale ln n>2. Assim, para n>=8:
(ln n)^n>2^nLongrightarrow1(ln n)^n<12^n

Passo 4

A série sumn=8^infty12^n é convergente (série geométrica de razão 1/2<1). Pelo teste da comparação, a parte da série original a partir de n=8 também converge.

Passo 5

Tratando os primeiros 7 termos (de n=1 a n=7) como uma soma finita, concluímos que a série inteira converge.

Resposta

Convergente.

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