Determine tildea(z), onde:
an=cos (omega n), omega in C;

Passo 1

A gente tem a sequência an=cos(omega n) e quer encontrar sua transformada Z tildea(z). Para isso, vamos usar a definição de transformada Z, a identidade de Euler para cosseno e a soma de progressão geométrica.

Passo 2

Pela definição de transformada Z, temos
tildea(z)=sumn=0^inftyan,z^-n=sumn=0^inftycos(omega n),z^-n

Passo 3

Aplicamos a identidade de Euler
cos(omega n)=e^jomega n+e^-jomega n2
e quebramos a soma em duas séries:
tildea(z)=12sumn=0^inftye^jomega nz^-n+12sumn=0^inftye^-jomega nz^-n

Passo 4

Cada uma dessas séries é uma progressão geométrica de razão r=e^pm jomegaz^-1. Sabendo que
sumn=0^inftyr^n=11-r, |r|<1,
obtemos
sumn=0^inftye^pm jomega nz^-n=11-e^pm jomegaz^-1,
com condição de convergência |e^pm jomegaz^-1|<1Rightarrow |z|>|e^pm jomega|.

Passo 5

Para simplificar, usamos
11-e^pm jomegaz^-1=zz-e^pm jomega
Substituindo em tildea(z) e colocando sobre um denominador comum:
tildea(z)=12l(zz-e^jomega+zz-e^-jomegar) =z(z-cosomega)z^2-2cosomega,z+1

Resposta

A transformada Z da sequência é
tildea(z)=z,(z-cosomega)z^2-2cosomega,z+1
com região de convergência
|z|>max|e^jomega|,|e^-jomega|

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