Calcule as integrais abaixo.
integral0^1 integral1^2(x+y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^1 integral1^2 (x+y),dy,dx. O conteúdo aqui é integrais múltiplas (duplas) em uma região retangular. Pelo Teorema de Fubini, podemos transformar essa integral sobre um retângulo em duas integrais simples iteradas: uma em y (mantendo x fixo) e depois em x.

Passo 2

Primeiro, calculamos a integral interna em y:
integral1^2 (x+y),dy = integral1^2 x,dy + integral1^2 y,dy
Como x é constante em relação a y,
integral1^2 x,dy = x,(2-1) = x,
integral1^2 y,dy = [y^22]1^2 = 42 - 12 = 32
Somando esses resultados, a integral interna vale x + tfrac32.

Passo 3

Agora integramos esse resultado em x:
integral0^1 l(x + tfrac32r),dx = integral0^1 x,dx + 32 integral0^1 dx
Calculando cada parte:
integral0^1 x,dx = [x^22]0^1 = 12,
integral0^1 dx = 1,
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12 + 32 cdot 1 = 12 + 32 = 2

Resposta

2

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