Derive e simplifique.

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função f(x) = (3x^2+1)^3,(x - x^2)^2. O conteúdo envolve derivada de produto e a regra da cadeia, pois há duas funções compostas multiplicadas.

Passo 2

Vamos chamar u(x) = (3x^2+1)^3 e v(x) = (x - x^2)^2. Pela regra do produto, temos
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 3

Para achar u'(x), aplicamos a regra da cadeia: a derivada de (3x^2+1)^3 é
u'(x) = 3,(3x^2+1)^2 cdot ddx(3x^2+1) = 3,(3x^2+1)^2 cdot 6x = 18x,(3x^2+1)^2

Passo 4

Para v'(x), também usamos a cadeia: a derivada de (x - x^2)^2 é
v'(x) = 2,(x - x^2) cdot ddx(x - x^2) = 2,(x - x^2),(1 - 2x)

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'v+uv' obtemos
f'(x) = 18x,(3x^2+1)^2 ,(x - x^2)^2 + (3x^2+1)^3 cdot 2,(x - x^2),(1 - 2x)

Passo 6

Agora fatoramos o máximo comum: note que temos em ambas as parcelas o fator 2,(3x^2+1)^2,(x - x^2). Extraindo-o, fica
f'(x) = 2,(3x^2+1)^2,(x - x^2)l[9x,(x - x^2) + (3x^2+1),(1 - 2x)r]

Resposta

f'(x) = 2,(3x^2+1)^2,(x - x^2)l[9x,(x - x^2) + (3x^2+1),(1 - 2x)r]

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