Um subconjunto
do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos
que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar no plano complexo o conjunto S definido por |Im(s)|>1 e discutir se S é um domínio, ou seja, se é aberto e conexo. Vamos usar conceitos de teoria de conjuntos abertos e conectividade em ℂ.
Passo 2
Para expressar S de forma clara, escrevemos s=x+iy com x,y∈ℝ. A condição |Im(s)|>1 vira duas desigualdades: y>1 ou y<−1. Logo,
[S={x+iy: y>1};\cup;{x+iy: y< -1}.
Passo 3
Em termos de esboço, S é a união de duas faixas horizontais abertas: uma acima da reta y=1 e outra abaixo da reta y=−1, sem incluir as fronteiras y=1 e y=−1.
Passo 4
Verificamos que S é aberto porque cada uma das faixas y>1 e y<−1 é um semiplano aberto em ℂ, e a união de abertos continua aberta.
Passo 5
Para a conectividade, notamos que não existe caminho contíguo em S que ligue um ponto com y>1 a um ponto com y<−1 sem sair de S. As duas faixas estão separadas pela região −1≤y≤1, que não pertence a S. Portanto, S é desconexo.
Passo 6
Como S é aberto mas não é conexo, concluímos que S não é um domínio. Porém, cada faixa isoladamente (y>1 ou y<−1) é aberta e conexa, logo cada uma delas é um domínio.
Passo 7
No esboço, basta desenhar duas regiões abertas paralelas às retas horizontais y=1 e y=−1, sem incluir essas retas, e indicar que são desconexas.
Resposta
O conjunto S é a união das faixas abertas y>1 e y<−1, é aberto porém desconexo, logo não é domínio. Cada faixa isolada (y>1 ou y<−1) é aberta e conexa e, portanto, é domínio individualmente.