Calcule as integrais abaixo:
a) integral0^1 integral3 y^3 cos (x^2) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^1integral3y^3cos(x^2),dx,dy. O conteúdo envolve integrais duplas, troca de ordem de integração e integração por substituição.

Passo 2

A região D é dada por
D=(x,y)mid 0<= y<=1,;3y<= x<=3
Invertendo a ordem, temos
D=(x,y)mid 0<= x<=3,;0<= y<= x/3
e portanto
integral duplaDcos(x^2),dx,dy=integralx=0^3integraly=0^x/3cos(x^2),dy,dx

Passo 3

Integrando primeiro em y, como cos(x^2) não depende de y, obtemos
integraly=0^x/3cos(x^2),dy=cos(x^2)cdotx3
Logo a integral reduz-se a
integral0^3x3cos(x^2),dx

Passo 4

Para resolver integral0^3x3cos(x^2),dx, fazemos a substituição
u=x^2, du=2x,dx
Isso leva a
13integral0^3xcos(x^2),dx=16integral0^9cos(u),du=16[sin(u)]0^9=sin(9)6

Resposta

tfracsin(9)6

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