Considere f(x, y)=raiz4 x^2+9 y^2.
Determine a imagem de f.

Passo 1

Estamos com a função fcolon R^2 to R dada por f(x,y)=raiz4x^2+9y^2. O que precisamos encontrar é a imagem de f, ou seja, o conjunto de todos os valores f(x,y) para (x,y) variando em R^2.

Passo 2

Repare que o radicando 4x^2+9y^2 é sempre maior ou igual a zero para quaisquer x,y reais. Logo, f(x,y)=raiz4x^2+9y^2 também será sempre maior ou igual a zero. Portanto, a imagem de f está contida em [0,+infty).

Passo 3

Para mostrar que qualquer valor t>=0 é de fato atingido por f, basta escolher um ponto que torne f(x,y)=t. Por exemplo, tomando y=0 e x=tfract2 temos
fl(tfract2,0r)=raiz4l(tfract2r)^2+9cdot0^2=raizt^2=t

Passo 4

Isso prova que todo t>=0 aparece como valor de f. Portanto, a imagem de f é exatamente [0,+infty).

Resposta

[0, +\infty)

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