Considere
.
Esboce as curvas de nível para
.
Esboce as curvas de nível para
Passo 1
O enunciado pede para desenharmos as curvas de nível da função
para os valores de
. O conteúdo envolvido é o de curvas de nível, ou seja, resolver
e identificar a geometria resultante.
Passo 2
Para uma curva de nível de cota
, igualamos
, ou seja,
e elevamos ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 3
Reescrevendo em forma de elipse, dividimos ambos os lados por
:
e agrupamos para obter os semi-eixos:
Passo 4
Logo, para cada
temos uma elipse centrada na origem com semi-eixo em
de valor
e em
de valor
. Para
a “elipse” degenera em um ponto.
Passo 5
Agora basta especificar cada curva:
- Para
: o ponto . - Para
: elipse , ou seja, . - Para
: elipse , ou seja, . - Para
: elipse , ou seja, .
Resposta
As curvas de nível são:
z=0: ponto (0,0)
z=1: 4x²+9y²=1 (elipse com semi-eixos 1/2 e 1/3)
z=2: 4x²+9y²=4 (elipse com semi-eixos 1 e 2/3)
z=3: 4x²+9y²=9 (elipse com semi-eixos 3/2 e 1)