Considere f(x, y)=raiz4 x^2+9 y^2.
Esboce as curvas de nível para z=0, z=1, z=2 e z=3.

Passo 1

O enunciado pede para desenharmos as curvas de nível da função f(x,y)=raiz4x^2+9y^2 para os valores de z=0,1,2,3. O conteúdo envolvido é o de curvas de nível, ou seja, resolver f(x,y)=z e identificar a geometria resultante.

Passo 2

Para uma curva de nível de cota z, igualamos f(x,y)=z, ou seja,
raiz4x^2+9y^2=z
e elevamos ao quadrado para eliminar a raiz:
4x^2+9y^2=z^2

Passo 3

Reescrevendo em forma de elipse, dividimos ambos os lados por z^2:
4x^2z^2+9y^2z^2=1
e agrupamos para obter os semi-eixos:
x^2(z/2)^2+y^2(z/3)^2=1

Passo 4

Logo, para cada z>0 temos uma elipse centrada na origem com semi-eixo em x de valor a=z/2 e em y de valor b=z/3. Para z=0 a “elipse” degenera em um ponto.

Passo 5

Agora basta especificar cada curva:
  • Para z=0: o ponto (0,0).
  • Para z=1: elipse x^2(1/2)^2+y^2(1/3)^2=1, ou seja, 4x^2+9y^2=1.
  • Para z=2: elipse x^21^2+y^2(2/3)^2=1, ou seja, 4x^2+9y^2=4.
  • Para z=3: elipse x^2(3/2)^2+y^21^2=1, ou seja, 4x^2+9y^2=9.

Resposta

As curvas de nível são:
z=0: ponto (0,0)
z=1: 4x²+9y²=1 (elipse com semi-eixos 1/2 e 1/3)
z=2: 4x²+9y²=4 (elipse com semi-eixos 1 e 2/3)
z=3: 4x²+9y²=9 (elipse com semi-eixos 3/2 e 1)

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