Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
h) integral0^1 integral0^(1-x^2) / 2 d y d x

Passo 1

Nesta questão vamos calcular a integral iterada
integral0^1integral0^1 - x^22 dy,dx
e, em seguida, esboçar a região de integração. O conteúdo aqui é integrais iteradas e interpretação geométrica de regiões. Vamos precisar usar a definição de integral iterada e identificar a curva limite y = tfrac1 - x^22.

Passo 2

Primeiro, integramos em relação a y. Como o integrando é 1, temos
integral0^1 - x^22 dy = l[yr]0^1 - x^22 = 1 - x^22
Isso nos dá uma função de x.

Passo 3

Agora, integramos a função obtida em x de 0 a 1:
integral0^1 1 - x^22 ,dx = 12 integral0^1 (1 - x^2) ,dx = 12 l[x - x^33r]0^1 = 12 l(1 - tfrac13r) = 13

Passo 4

A região de integração é o conjunto de pontos (x,y) tais que 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= tfrac1 - x^22. Geometricamente, é a área sob a parábola y = tfrac1 - x^22 acima do eixo x, entre x=0 e x=1. Para esboçar, basta desenhar o eixo x, o eixo y, a curva y = tfrac1 - x^22 e preencher a região abaixo dela até o eixo x.

Resposta

13

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