Vamos resumir: o enunciado pede para calcular três integrais duplas, usando teoria de mudança da ordem de integração (teorema de Fubini) e técnicas de integração (substituição e integração direta).
Passo 2
a) Temos a região definida por 0≤y≤1 e 3y≤x≤3. Aplicando Fubini, trocamos a ordem e escrevemos:
Passo 3
Para calcular , fazemos a substituição (logo , ou ) e obtemos:
Passo 4
b) A região é 0≤y≤1 e y≤x≤1. Trocando a ordem via Fubini:
Dentro, integrando em :
Logo a integral vira
Passo 5
Separamos em duas integrais:
Subtraindo, o valor de (b) é tfrac12-tfracsin12=tfrac1-sin12.
Passo 6
c) A região é 0≤y≤π e y≤x≤π. Novamente, trocando a ordem: