Calcule as integrais abaixo:
a) integral0^1 integral3 y^3 cos (x^2) d x d y b) integral0^1 integraly^1 x^2 sen(x y) d x d y c) integral0^pi integraly^pi sen xx d x d y

Passo 1

Vamos resumir: o enunciado pede para calcular três integrais duplas, usando teoria de mudança da ordem de integração (teorema de Fubini) e técnicas de integração (substituição e integração direta).

Passo 2

a) Temos a região definida por 0≤y≤1 e 3y≤x≤3. Aplicando Fubini, trocamos a ordem e escrevemos:
integral0^1integral3y^3cos(x^2),dx,dy =integral0^3integral0^x/3cos(x^2),dy,dx =integral0^3x3cos(x^2),dx

Passo 3

Para calcular integral0^3x3cos(x^2),dx, fazemos a substituição t=x^2 (logo dt=2x,dx, ou x,dx=dt/2) e obtemos:
integral0^3x3cos(x^2),dx =13cdot12integral0^9cos t,dt =16[sin t]0^9 =sin(9)6

Passo 4

b) A região é 0≤y≤1 e y≤x≤1. Trocando a ordem via Fubini:
integral0^1integraly^1x^2sin(xy),dx,dy =integral0^1integral0^xx^2sin(xy),dy,dx
Dentro, integrando em y:
integral0^xsin(xy),dy =l[-tfrac1xcos(xy)r]0^x =1-cos(x^2)x
Logo a integral vira
integral0^1x^2cdot1-cos(x^2)x,dx =integral0^1xl(1-cos(x^2)r),dx

Passo 5

Separamos em duas integrais:
integral0^1x,dx=tfrac12, integral0^1xcos(x^2),dx =tfrac12sin(x^2)|0^1 =tfracsin12
Subtraindo, o valor de (b) é tfrac12-tfracsin12=tfrac1-sin12.

Passo 6

c) A região é 0≤y≤π e y≤x≤π. Novamente, trocando a ordem:
integral0^piintegraly^pisin xx,dx,dy =integral0^piintegral0^xsin xx,dy,dx =integral0^pisin x,dx =2

Resposta

a) dfracsin(9)6, b) dfrac1-sin12, c) 2.

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