Calcule as integrais abaixo.
integral0^pi / 2 integral0^1 r cos theta r d r d theta

Passo 1

A gente tem a integral dupla integral0^pi/2integral0^1rcostheta,r,dr,dtheta. Isso é um exercício de Integração Dupla em que o integrando é produto de funções de r e de theta, então dá pra separar variáveis.

Passo 2

Reescrevendo o integrando: rcosthetacdot r = r^2costheta. A integral fica
integral0^pi/2integral0^1r^2costheta,dr,dtheta = l(integral0^1r^2,drr);l(integral0^pi/2costheta,dthetar)

Passo 3

Calcular integral0^1r^2,dr. A primitiva de r^2 é r^3/3, então
$$\int_{0}{1}r2,dr = \Bigl[\frac{r3}{3}\Bigr]_01 = \frac{1^3}{3} - 0 = \frac{1}{3}.
$$

Passo 4

Calcular integral0^pi/2costheta,dtheta. A primitiva de costheta é sintheta, logo
$$\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta,d\theta = \Bigl[\sin\theta\Bigr]_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1.
$$

Passo 5

Multiplicando os resultados das integrais obtém-se tfrac13times 1 = tfrac13.

Resposta

tfrac13

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