Um subconjunto S do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos s in C que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano complexo o conjunto de pontos s tais que Re(s^2)>0 e verificar se esse conjunto é um domínio, isto é, aberto e conexo.

Passo 2

Denotamos s=x+iy com x,yinR. Então
s^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy,
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Re(s^2)=x^2-y^2

Passo 3

A condição Re(s^2)>0 vira
x^2-y^2>0Long<=ftrightarrow x^2>y^2Long<=ftrightarrow |x|>|y|

Passo 4

Esse é o conjunto dos pontos do plano estritamente entre as retas y=x e y=-x, tomando tanto a região voltada para a direita (onde x>0) quanto a voltada para a esquerda (onde x<0).

Passo 5

O conjunto total é aberto (a desigualdade é estrita), mas não é conexo: existem duas partes desconexas, uma para x>0 e outra para x<0. Portanto o conjunto inteiro não é domínio, embora cada uma das duas partes (à direita e à esquerda) seja aberta e conexa e, logo, um domínio.

Passo 6

Esboço: trace as retas y=pm x e sombreie as duas faixas onde |x|>|y|, sem incluir as retas.

Resposta

O conjunto é dado pelas duas faixas abertas entre as retas y=x e y=-x, ou seja |x|>|y|. Ele é aberto mas tem duas componentes desconexas (uma com x>0 e outra com x<0), logo o conjunto inteiro não é domínio. Cada componente isolada, entretanto, é um domínio.

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