Um subconjunto
do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos
que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar no plano complexo o conjunto de pontos s tais que
e verificar se esse conjunto é um domínio, isto é, aberto e conexo.
Passo 2
Denotamos
com
. Então
logo
Passo 3
A condição
vira
Passo 4
Esse é o conjunto dos pontos do plano estritamente entre as retas
e
, tomando tanto a região voltada para a direita (onde
) quanto a voltada para a esquerda (onde
).
Passo 5
O conjunto total é aberto (a desigualdade é estrita), mas não é conexo: existem duas partes desconexas, uma para
e outra para
. Portanto o conjunto inteiro não é domínio, embora cada uma das duas partes (à direita e à esquerda) seja aberta e conexa e, logo, um domínio.
Passo 6
Esboço: trace as retas
e sombreie as duas faixas onde
, sem incluir as retas.
Resposta
O conjunto é dado pelas duas faixas abertas entre as retas
e
, ou seja
. Ele é aberto mas tem duas componentes desconexas (uma com
e outra com
), logo o conjunto inteiro não é domínio. Cada componente isolada, entretanto, é um domínio.