Calcule as integrais abaixo.
integral0^pi / 2 x sen x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integral0^pi / 2 x sin x cos x , dx. O conteúdo aqui envolve integração de funções que são produtos de polinomios e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão e, depois, aplicar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar sin x cos x usando uma identidade trigonométrica conhecida:
sin x cos x = sin 2x2
Então, a integral fica:
integral0^pi / 2 x sin x cos x , dx = 12 integral0^pi / 2 x sin 2x , dx

Passo 3

Agora, vamos aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sin 2x , dx Rightarrow v = -cos 2x2

Passo 4

Aplicando a fórmula:
12 [ uv - integral v , du ] = 12 [ x (-cos 2x2) - integral (-cos 2x2) dx ]
Simplificando:
= 12 ( -x cos 2x2 + 12 integral cos 2x , dx )

Passo 5

Vamos calcular a integral restante:
integral cos 2x , dx = sin 2x2 + C
Substituindo de volta:
= 12 ( -x cos 2x2 + sin 2x4 )
= -x cos 2x4 + sin 2x8

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a pi2:
Para x = pi2:
-pi2 cos pi4 + sin pi8 = -pi2 (-1)4 + 0 = pi8
Para x = 0:
-0 cdot cos 04 + sin 08 = 0 + 0 = 0

Resposta

A integral integral0^pi / 2 x sin x cos x , dx é igual a dfracpi8.

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